अध्याय 1: वास्तविक संख्याएँ

कक्षा 10 गणित · ऑब्जेक्टिव प्रश्न उत्तर सहित

प्रिंट टेस्ट बनाएँ

140 का अभाज्य गुणनखंडन क्या है?
1. (A) 2 × 5 × 14
2. (B) 2 × 7 × 10
3. (C) 2² × 35
4. (D) 2² × 5 × 7
उत्तर देखें

सही उत्तर: (D) 2² × 5 × 7

व्याख्या: 140 = 2 × 70 = 2 × 2 × 35 = 2² × 5 × 7। अभाज्य गुणनखंडन में सभी गुणनखंड अभाज्य होने चाहिए; 14, 10 और 35 अभाज्य नहीं हैं।

गलती बताएँ
96 और 404 का HCF क्या है?
1. (A) 2
2. (B) 4
3. (C) 8
4. (D) 12
उत्तर देखें

सही उत्तर: (B) 4

व्याख्या: 96 = 2⁵ × 3 और 404 = 2² × 101। उभयनिष्ठ गुणनखंड 2² है, इसलिए HCF = 4।

गलती बताएँ
12, 15 और 21 का LCM क्या है?
1. (A) 3780
2. (B) 1260
3. (C) 420
4. (D) 210
उत्तर देखें

सही उत्तर: (C) 420

व्याख्या: 12 = 2² × 3, 15 = 3 × 5, 21 = 3 × 7। हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात लेने पर LCM = 2² × 3 × 5 × 7 = 420।

गलती बताएँ
दो संख्याओं का HCF 9 है और उनका गुणनफल 1620 है। उनका LCM क्या है?
1. (A) 90
2. (B) 162
3. (C) 180
4. (D) 360
उत्तर देखें

सही उत्तर: (C) 180

व्याख्या: HCF × LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल। इसलिए LCM = 1620 ÷ 9 = 180।

गलती बताएँ
अंकगणित की आधारभूत प्रमेय क्या बताती है?
1. (A) प्रत्येक संख्या सम होती है
2. (B) प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में एक ही तरह से लिखा जा सकता है (क्रम को छोड़कर)
3. (C) दो अभाज्य संख्याओं का योग सदा अभाज्य होता है
4. (D) प्रत्येक अभाज्य संख्या विषम होती है
उत्तर देखें

सही उत्तर: (B) प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में एक ही तरह से लिखा जा सकता है (क्रम को छोड़कर)

व्याख्या: आधारभूत प्रमेय के अनुसार हर भाज्य संख्या का अभाज्य गुणनखंडन अद्वितीय होता है; केवल गुणनखंडों का क्रम बदल सकता है।

गलती बताएँ
इनमें से कौन-सी अपरिमेय संख्या है?
1. (A) √2
2. (B) √4
3. (C) 0.25
4. (D) 3/7
उत्तर देखें

सही उत्तर: (A) √2

व्याख्या: √2 को p/q (q ≠ 0) के रूप में नहीं लिखा जा सकता, इसलिए यह अपरिमेय है। √4 = 2, 0.25 = 1/4 और 3/7 परिमेय हैं।

गलती बताएँ
संख्या 3 + 2√5 कैसी है?
1. (A) परिमेय
2. (B) पूर्णांक
3. (C) अपरिमेय
4. (D) प्राकृत संख्या
उत्तर देखें

सही उत्तर: (C) अपरिमेय

व्याख्या: यदि 3 + 2√5 परिमेय होता, तो √5 = (संख्या − 3)/2 भी परिमेय होता, जो असत्य है। अतः 3 + 2√5 अपरिमेय है।

गलती बताएँ
एक शून्येतर परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल सदा कैसा होता है?
1. (A) परिमेय
2. (B) अपरिमेय
3. (C) शून्य
4. (D) पूर्णांक
उत्तर देखें

सही उत्तर: (B) अपरिमेय

व्याख्या: उदाहरण: 2 × √3 = 2√3 अपरिमेय है। यदि गुणनफल परिमेय होता, तो अपरिमेय संख्या = गुणनफल ÷ परिमेय संख्या भी परिमेय हो जाती, जो संभव नहीं।

गलती बताएँ
किस प्राकृत संख्या n के लिए 4ⁿ का अंतिम अंक 0 होगा?
1. (A) n = 5
2. (B) n = 10
3. (C) n = 20
4. (D) किसी भी n के लिए नहीं
उत्तर देखें

सही उत्तर: (D) किसी भी n के लिए नहीं

व्याख्या: 0 पर समाप्त होने के लिए संख्या के अभाज्य गुणनखंड में 2 और 5 दोनों होने चाहिए। 4ⁿ = 2²ⁿ में 5 कभी नहीं आता, इसलिए 4ⁿ कभी 0 पर समाप्त नहीं होता।

गलती बताएँ
दो सहअभाज्य संख्याओं का HCF कितना होता है?
1. (A) 0
2. (B) दोनों का गुणनफल
3. (C) 1
4. (D) छोटी संख्या
उत्तर देखें

सही उत्तर: (C) 1

व्याख्या: सहअभाज्य संख्याओं में 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होता, इसलिए उनका HCF 1 होता है और LCM उनके गुणनफल के बराबर।

गलती बताएँ
26 और 91 का HCF क्या है?
1. (A) 91
2. (B) 26
3. (C) 13
4. (D) 7
उत्तर देखें

सही उत्तर: (C) 13

व्याख्या: 26 = 2 × 13 और 91 = 7 × 13। उभयनिष्ठ गुणनखंड 13 है, इसलिए HCF = 13। (LCM = 2 × 7 × 13 = 182)

गलती बताएँ
306 और 657 दोनों से पूर्णतः विभाजित होने वाली सबसे छोटी संख्या कौन-सी है?
1. (A) 9
2. (B) 2178
3. (C) 22338
4. (D) 201042
उत्तर देखें

सही उत्तर: (C) 22338

व्याख्या: यह LCM है। 306 = 2 × 3² × 17 और 657 = 3² × 73, अतः LCM = 2 × 3² × 17 × 73 = 22338।

गलती बताएँ
144 के अभाज्य गुणनखंडन में 2 की घात कितनी है?
1. (A) 6
2. (B) 4
3. (C) 3
4. (D) 2
उत्तर देखें

सही उत्तर: (B) 4

व्याख्या: 144 = 16 × 9 = 2⁴ × 3²। इसलिए 2 की घात 4 है।

गलती बताएँ
इनमें से कौन-सी परिमेय संख्या है?
1. (A) √9
2. (B) √2
3. (C) π
4. (D) √3 + 1
उत्तर देखें

सही उत्तर: (A) √9

व्याख्या: √9 = 3 = 3/1, जो p/q के रूप में है, इसलिए परिमेय है। √2, π और √3 + 1 अपरिमेय हैं।

गलती बताएँ
"HCF × LCM = संख्याओं का गुणनफल" का नियम किन पर सदा लागू होता है?
1. (A) किन्हीं तीन धनात्मक पूर्णांकों पर
2. (B) केवल अभाज्य संख्याओं पर
3. (C) किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों पर
4. (D) कभी नहीं
उत्तर देखें

सही उत्तर: (C) किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों पर

व्याख्या: यह नियम दो संख्याओं के लिए सदा सत्य है। तीन संख्याओं पर यह आवश्यक नहीं: 2, 3, 4 का HCF 1 और LCM 12 है, पर गुणनफल 24 है।

गलती बताएँ
8, 9 और 25 का HCF क्या है?
1. (A) 1
2. (B) 2
3. (C) 5
4. (D) 1800
उत्तर देखें

सही उत्तर: (A) 1

व्याख्या: 8 = 2³, 9 = 3² और 25 = 5²। इनमें कोई उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं है, इसलिए HCF = 1। (इनका LCM 1800 है।)

गलती बताएँ
एक मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट और रवि को 12 मिनट लगते हैं। दोनों एक ही समय और एक ही बिंदु से एक ही दिशा में चलना शुरू करते हैं। कितने मिनट बाद वे फिर प्रारंभिक बिंदु पर मिलेंगे?
1. (A) 216
2. (B) 36
3. (C) 30
4. (D) 6
उत्तर देखें

सही उत्तर: (B) 36

व्याख्या: वे उस समय मिलेंगे जो 18 और 12 दोनों का गुणज हो, यानी LCM। 18 = 2 × 3² और 12 = 2² × 3, LCM = 2² × 3² = 36 मिनट।

गलती बताएँ
वह सबसे बड़ी संख्या कौन-सी है, जिससे 70 और 125 को भाग देने पर क्रमशः 5 और 8 शेष बचते हैं?
1. (A) 5
2. (B) 8
3. (C) 13
4. (D) 65
उत्तर देखें

सही उत्तर: (C) 13

व्याख्या: वह संख्या 70 − 5 = 65 और 125 − 8 = 117 दोनों को पूरा विभाजित करेगी। 65 = 5 × 13 और 117 = 3² × 13, इसलिए HCF = 13।

गलती बताएँ
3825 का अभाज्य गुणनखंडन क्या है?
1. (A) 3² × 5² × 17
2. (B) 3 × 5² × 51
3. (C) 3² × 5 × 85
4. (D) 3³ × 5² × 7
उत्तर देखें

सही उत्तर: (A) 3² × 5² × 17

व्याख्या: 3825 = 25 × 153 = 5² × 9 × 17 = 3² × 5² × 17। विकल्पों में 51 और 85 अभाज्य नहीं हैं, और 3³ × 5² × 7 = 4725 है।

गलती बताएँ
संख्या 7 × 11 × 13 + 13 कैसी है?
1. (A) अभाज्य
2. (B) न अभाज्य, न भाज्य
3. (C) अपरिमेय
4. (D) भाज्य
उत्तर देखें

सही उत्तर: (D) भाज्य

व्याख्या: 7 × 11 × 13 + 13 = 13 × (77 + 1) = 13 × 78। इसके 1 और स्वयं के अलावा भी गुणनखंड हैं, इसलिए यह भाज्य संख्या है।

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यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए a = bq + r, जहाँ r के लिए कौन-सी शर्त है?
1. (A) 0 < r ≤ b
2. (B) 0 ≤ r < b
3. (C) r > b
4. (D) r = b
उत्तर देखें

सही उत्तर: (B) 0 ≤ r < b

व्याख्या: शेषफल r सदा 0 या उससे अधिक और भाजक b से छोटा होता है, यानी 0 ≤ r < b।

गलती बताएँ
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से 135 और 225 का HCF क्या आता है?
1. (A) 15
2. (B) 45
3. (C) 75
4. (D) 135
उत्तर देखें

सही उत्तर: (B) 45

व्याख्या: 225 = 135 × 1 + 90; 135 = 90 × 1 + 45; 90 = 45 × 2 + 0। शेषफल 0 होने पर भाजक 45 ही HCF है।

गलती बताएँ
बिना लंबा भाग किए बताइए कि इनमें से किस परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत (terminating) है।
1. (A) 17/6
2. (B) 64/455
3. (C) 29/343
4. (D) 13/3125
उत्तर देखें

सही उत्तर: (D) 13/3125

व्याख्या: सरलतम रूप में हर (denominator) के अभाज्य गुणनखंड में केवल 2 और/या 5 हों, तो प्रसार सांत होता है। 3125 = 5⁵ है; 6, 455 और 343 में 3, 7 या 13 जैसे गुणनखंड हैं।

गलती बताएँ
17/8 का दशमलव प्रसार दशमलव के कितने स्थानों के बाद समाप्त होता है?
1. (A) 1
2. (B) 2
3. (C) 3
4. (D) 4
उत्तर देखें

सही उत्तर: (C) 3

व्याख्या: 17/8 = 17 × 125 / (8 × 125) = 2125/1000 = 2.125। हर 2³ है, इसलिए प्रसार 3 दशमलव स्थानों के बाद समाप्त होता है।

गलती बताएँ
अभिकथन (A): किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए 6ⁿ का अंतिम अंक 0 नहीं हो सकता। कारण (R): कोई संख्या 0 पर तभी समाप्त होती है, जब उसके अभाज्य गुणनखंडन में 2 और 5 दोनों हों।
1. (A) A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है।
2. (B) A और R दोनों सत्य हैं, परंतु R, A की सही व्याख्या नहीं है।
3. (C) A सत्य है, परंतु R असत्य है।
4. (D) A असत्य है, परंतु R सत्य है।
उत्तर देखें

सही उत्तर: (A) A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

व्याख्या: 6ⁿ = 2ⁿ × 3ⁿ में 5 कभी नहीं आता, इसलिए यह 0 पर समाप्त नहीं हो सकता। R, A की सही व्याख्या है।

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