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अध्याय 3: दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म

कक्षा 10 गणित · ऑब्जेक्टिव प्रश्न उत्तर सहित

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  1. समीकरण युग्म x + y = 14 और x − y = 4 का हल क्या है?

    1. (A) x = 5, y = 9
    2. (B) x = 10, y = 4
    3. (C) x = 9, y = 5
    4. (D) x = 7, y = 7
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (C) x = 9, y = 5

    व्याख्या: दोनों समीकरण जोड़ने पर 2x = 18, अतः x = 9। फिर y = 14 − 9 = 5।

    गलती बताएँ

  2. समीकरण युग्म 2x + 3y = 11 और 2x − 4y = −24 का हल क्या है?

    1. (A) x = 2, y = 5
    2. (B) x = −2, y = 5
    3. (C) x = 5, y = −2
    4. (D) x = −2, y = −5
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (B) x = −2, y = 5

    व्याख्या: पहले समीकरण से दूसरा घटाने पर 7y = 35, अतः y = 5। फिर 2x + 15 = 11, अतः x = −2।

    गलती बताएँ

  3. यदि दो रैखिक समीकरणों की रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो युग्म के कितने हल होंगे?

    1. (A) कोई हल नहीं
    2. (B) अपरिमित रूप से अनेक हल
    3. (C) ठीक दो हल
    4. (D) ठीक एक हल
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (D) ठीक एक हल

    व्याख्या: प्रतिच्छेद बिंदु दोनों रेखाओं पर स्थित एकमात्र बिंदु है, इसलिए अद्वितीय हल है और युग्म संगत है।

    गलती बताएँ

  4. यदि दो रैखिक समीकरणों की रेखाएँ समांतर हैं, तो युग्म के कितने हल होंगे?

    1. (A) ठीक एक हल
    2. (B) अपरिमित रूप से अनेक हल
    3. (C) कोई हल नहीं
    4. (D) ठीक दो हल
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (C) कोई हल नहीं

    व्याख्या: समांतर रेखाएँ कभी नहीं मिलतीं, इसलिए कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है। ऐसा युग्म असंगत कहलाता है।

    गलती बताएँ

  5. यदि दोनों समीकरणों की रेखाएँ संपाती हैं (एक-दूसरे पर पूरी तरह पड़ती हैं), तो युग्म के कितने हल होंगे?

    1. (A) अपरिमित रूप से अनेक हल
    2. (B) ठीक एक हल
    3. (C) कोई हल नहीं
    4. (D) ठीक दो हल
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (A) अपरिमित रूप से अनेक हल

    व्याख्या: संपाती रेखाओं का हर बिंदु दोनों रेखाओं पर है, इसलिए अपरिमित रूप से अनेक हल हैं। युग्म आश्रित (और संगत) है।

    गलती बताएँ

  6. समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 का अद्वितीय हल होने की शर्त क्या है?

    1. (A) a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
    2. (B) a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
    3. (C) b₁/b₂ = c₁/c₂
    4. (D) a₁/a₂ ≠ b₁/b₂
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (D) a₁/a₂ ≠ b₁/b₂

    व्याख्या: जब a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ हो, तो रेखाएँ प्रतिच्छेदी होती हैं और अद्वितीय हल मिलता है।

    गलती बताएँ

  7. समीकरण युग्म का कोई हल न होने (असंगत होने) की शर्त क्या है?

    1. (A) a₁/a₂ ≠ b₁/b₂
    2. (B) a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
    3. (C) a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
    4. (D) a₁/a₂ = c₁/c₂ ≠ b₁/b₂
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (B) a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂

    व्याख्या: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ होने पर रेखाएँ समांतर होती हैं और कोई हल नहीं होता।

    गलती बताएँ

  8. समीकरण युग्म 3x + 2y = 5 और 2x − 3y = 7 के कितने हल हैं?

    1. (A) ठीक एक हल
    2. (B) कोई हल नहीं
    3. (C) अपरिमित रूप से अनेक हल
    4. (D) ठीक दो हल
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (A) ठीक एक हल

    व्याख्या: a₁/a₂ = 3/2 और b₁/b₂ = 2/(−3) = −2/3। ये बराबर नहीं हैं, इसलिए रेखाएँ प्रतिच्छेदी हैं और ठीक एक हल है।

    गलती बताएँ

  9. समीकरण युग्म 2x − 3y = 8 और 4x − 6y = 9 के कितने हल हैं?

    1. (A) ठीक एक हल
    2. (B) अपरिमित रूप से अनेक हल
    3. (C) कोई हल नहीं
    4. (D) ठीक दो हल
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (C) कोई हल नहीं

    व्याख्या: a₁/a₂ = 2/4 = 1/2, b₁/b₂ = −3/−6 = 1/2, पर c₁/c₂ = 8/9। चूँकि a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, रेखाएँ समांतर हैं और कोई हल नहीं है।

    गलती बताएँ

  10. समीकरण युग्म 9x + 3y + 12 = 0 और 18x + 6y + 24 = 0 के कितने हल हैं?

    1. (A) ठीक एक हल
    2. (B) अपरिमित रूप से अनेक हल
    3. (C) कोई हल नहीं
    4. (D) ठीक दो हल
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (B) अपरिमित रूप से अनेक हल

    व्याख्या: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ = 1/2। दूसरा समीकरण पहले का ही दोगुना है, इसलिए रेखाएँ संपाती हैं और अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

    गलती बताएँ

  11. k के किस मान के लिए समीकरण युग्म x + 2y = 3 और 5x + ky + 7 = 0 का कोई हल नहीं है?

    1. (A) 10
    2. (B) 5
    3. (C) 2
    4. (D) −10
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (A) 10

    व्याख्या: x + 2y − 3 = 0 और 5x + ky + 7 = 0 के लिए a₁/a₂ = 1/5, b₁/b₂ = 2/k, c₁/c₂ = −3/7। कोई हल न होने के लिए 1/5 = 2/k, अतः k = 10; और 1/5 ≠ −3/7 सत्य है।

    गलती बताएँ

  12. k के किस मान के लिए समीकरण युग्म 2x + 3y = 7 और (k − 1)x + (k + 2)y = 3k के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं?

    1. (A) 1
    2. (B) 3
    3. (C) 5
    4. (D) 7
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (D) 7

    व्याख्या: शर्त: 2/(k − 1) = 3/(k + 2) = 7/(3k)। पहली समानता से 2k + 4 = 3k − 3, अतः k = 7। जाँच: 2/6 = 3/9 = 7/21 = 1/3।

    गलती बताएँ

  13. कक्षा 10 के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक है। लड़के और लड़कियाँ कितने हैं?

    1. (A) लड़के 3, लड़कियाँ 7
    2. (B) लड़के 7, लड़कियाँ 3
    3. (C) लड़के 4, लड़कियाँ 6
    4. (D) लड़के 5, लड़कियाँ 5
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (A) लड़के 3, लड़कियाँ 7

    व्याख्या: माना लड़के x और लड़कियाँ y हैं: x + y = 10 और y = x + 4। हल करने पर 2x + 4 = 10, अतः x = 3 और y = 7।

    गलती बताएँ

  14. 5 पेंसिल और 7 पेन का कुल मूल्य ₹50 है, जबकि 7 पेंसिल और 5 पेन का कुल मूल्य ₹46 है। एक पेंसिल और एक पेन का मूल्य क्या है?

    1. (A) पेंसिल ₹5, पेन ₹3
    2. (B) पेंसिल ₹4, पेन ₹4
    3. (C) पेंसिल ₹2, पेन ₹6
    4. (D) पेंसिल ₹3, पेन ₹5
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (D) पेंसिल ₹3, पेन ₹5

    व्याख्या: 5x + 7y = 50 और 7x + 5y = 46। जोड़ने पर x + y = 8 और घटाने पर y − x = 2, अतः y = 5, x = 3। जाँच: 15 + 35 = 50 और 21 + 25 = 46।

    गलती बताएँ

  15. एक भिन्न के अंश और हर दोनों में 2 जोड़ने पर वह 9/11 हो जाती है, और दोनों में 3 जोड़ने पर 5/6 हो जाती है। भिन्न क्या है?

    1. (A) 9/11
    2. (B) 7/9
    3. (C) 3/4
    4. (D) 5/7
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (B) 7/9

    व्याख्या: माना भिन्न x/y है: 11(x + 2) = 9(y + 2) और 6(x + 3) = 5(y + 3), यानी 11x − 9y = −4 और 6x − 5y = −3। हल करने पर x = 7, y = 9। जाँच: 9/11 और 10/12 = 5/6।

    गलती बताएँ

  16. पिता और पुत्र की आयु का योग 50 वर्ष है। पिता की आयु पुत्र की आयु की 4 गुनी है। उनकी आयु क्या है?

    1. (A) पुत्र 10, पिता 40
    2. (B) पुत्र 12, पिता 38
    3. (C) पुत्र 8, पिता 42
    4. (D) पुत्र 15, पिता 35
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (A) पुत्र 10, पिता 40

    व्याख्या: माना पुत्र की आयु x और पिता की 4x है: x + 4x = 50, अतः x = 10। पिता = 40 वर्ष।

    गलती बताएँ

  17. समीकरण युग्म x = 2y और x + y = 9 का हल क्या है?

    1. (A) x = 3, y = 6
    2. (B) x = 4, y = 5
    3. (C) x = 6, y = 3
    4. (D) x = 2, y = 7
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (C) x = 6, y = 3

    व्याख्या: x = 2y को दूसरे समीकरण में रखने पर 2y + y = 9, अतः y = 3 और x = 6।

    गलती बताएँ

  18. रेखा 2x + y = 6, y-अक्ष को किस बिंदु पर काटती है?

    1. (A) (3, 0)
    2. (B) (0, 6)
    3. (C) (6, 0)
    4. (D) (0, 3)
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (B) (0, 6)

    व्याख्या: y-अक्ष पर x = 0 होता है। x = 0 रखने पर y = 6, अतः बिंदु (0, 6) है। (x-अक्ष को यह (3, 0) पर काटती है।)

    गलती बताएँ

  19. रेखाएँ x = 2 और y = 3 किस बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं?

    1. (A) (3, 2)
    2. (B) (0, 0)
    3. (C) (2, 0)
    4. (D) (2, 3)
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (D) (2, 3)

    व्याख्या: x = 2 एक ऊर्ध्वाधर रेखा और y = 3 एक क्षैतिज रेखा है। दोनों पर स्थित बिंदु (2, 3) है।

    गलती बताएँ

  20. किस समीकरण युग्म का हल x = 2, y = −3 है?

    1. (A) x + y = 1 और 2x + 3y = 5
    2. (B) x − y = 1 और x + y = −1
    3. (C) x + y = −1 और 2x − 3y = 13
    4. (D) 2x + y = 7 और x − y = 5
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (C) x + y = −1 और 2x − 3y = 13

    व्याख्या: x = 2, y = −3 रखने पर: 2 + (−3) = −1 और 4 + 9 = 13; दोनों समीकरण संतुष्ट होते हैं। बाकी युग्मों में कम-से-कम एक समीकरण संतुष्ट नहीं होता।

    गलती बताएँ

  21. वज्र-गुणन विधि से समीकरण युग्म 2x + y − 5 = 0 और 3x + 2y − 8 = 0 का हल क्या है?

    1. (A) x = 2, y = 1
    2. (B) x = 1, y = 2
    3. (C) x = 1, y = 3
    4. (D) x = 3, y = 1
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (A) x = 2, y = 1

    व्याख्या: x/(b₁c₂ − b₂c₁) = y/(c₁a₂ − c₂a₁) = 1/(a₁b₂ − a₂b₁) से x/(−8 + 10) = y/(−15 + 16) = 1/(4 − 3), अतः x = 2, y = 1।

    गलती बताएँ

  22. समीकरण युग्म 2/x + 3/y = 13 और 5/x − 4/y = −2 का हल क्या है?

    1. (A) x = 2, y = 3
    2. (B) x = 1/3, y = 1/2
    3. (C) x = 3, y = 2
    4. (D) x = 1/2, y = 1/3
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (D) x = 1/2, y = 1/3

    व्याख्या: 1/x = p और 1/y = q रखने पर 2p + 3q = 13 और 5p − 4q = −2। हल करने पर p = 2, q = 3, अतः x = 1/2, y = 1/3।

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  23. समीकरण युग्म 3x + 4y = 10 और 2x − 2y = 2 का हल क्या है?

    1. (A) x = 1, y = 2
    2. (B) x = 2, y = 1
    3. (C) x = 2, y = 2
    4. (D) x = 3, y = 1
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (B) x = 2, y = 1

    व्याख्या: दूसरे समीकरण को 2 से गुणा करें: 4x − 4y = 4। पहले में जोड़ने पर 7x = 14, अतः x = 2 और y = 1।

    गलती बताएँ

  24. k के किस मान के लिए रेखाएँ 3x + 2ky = 2 और 2x + 5y + 1 = 0 समांतर होंगी?

    1. (A) 4/15
    2. (B) 3/5
    3. (C) 5/3
    4. (D) 15/4
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (D) 15/4

    व्याख्या: समांतर होने के लिए a₁/a₂ = b₁/b₂: 3/2 = 2k/5, अतः k = 15/4। तब c₁/c₂ = −2/1 ≠ 3/2, इसलिए रेखाएँ संपाती नहीं, समांतर हैं।

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  25. अभिकथन (A): समीकरण युग्म x + 2y = 4 और 2x + 4y = 12 का कोई हल नहीं है। कारण (R): इस युग्म के लिए a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ है।

    1. (A) A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है।
    2. (B) A और R दोनों सत्य हैं, परंतु R, A की सही व्याख्या नहीं है।
    3. (C) A सत्य है, परंतु R असत्य है।
    4. (D) A असत्य है, परंतु R सत्य है।
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (A) A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

    व्याख्या: a₁/a₂ = 1/2, b₁/b₂ = 2/4 = 1/2 और c₁/c₂ = 4/12 = 1/3। रेखाएँ समांतर हैं, इसलिए कोई हल नहीं; R, A की सही व्याख्या है।

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