अध्याय 4: द्विघात समीकरण

कक्षा 10 गणित · ऑब्जेक्टिव प्रश्न उत्तर सहित

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इनमें से कौन-सा द्विघात समीकरण है?
1. (A) x(x + 1) + 8 = (x + 2)(x − 2)
2. (B) (x + 1)² = 2(x − 3)
3. (C) x² + 3x = x² − 5
4. (D) 2x + 3 = 7
उत्तर देखें

सही उत्तर: (B) (x + 1)² = 2(x − 3)

व्याख्या: (x + 1)² = 2(x − 3) को सरल करने पर x² + 7 = 0 बनता है, जिसमें x² बचता है, इसलिए यह द्विघात है। B और C में x² कट जाता है और वे रैखिक बन जाते हैं; D पहले से रैखिक है।

गलती बताएँ
ax² + bx + c = 0 द्विघात समीकरण तभी है, जब:
1. (A) b ≠ 0
2. (B) c ≠ 0
3. (C) a = 0
4. (D) a ≠ 0
उत्तर देखें

सही उत्तर: (D) a ≠ 0

व्याख्या: यदि a = 0 हो, तो x² वाला पद नहीं बचता और समीकरण रैखिक हो जाता है। इसलिए a ≠ 0 आवश्यक है; b और c शून्य हो सकते हैं।

गलती बताएँ
2x² − 5x + 3 = 0 के मूल क्या हैं?
1. (A) −1 और −3/2
2. (B) 1 और −3/2
3. (C) 1 और 3/2
4. (D) 3 और 1/2
उत्तर देखें

सही उत्तर: (C) 1 और 3/2

व्याख्या: 2x² − 5x + 3 = 2x² − 2x − 3x + 3 = (x − 1)(2x − 3)। अतः x = 1 या x = 3/2।

गलती बताएँ
x² − 3x − 10 = 0 के मूल क्या हैं?
1. (A) 5 और −2
2. (B) −5 और 2
3. (C) 10 और −1
4. (D) 5 और 2
उत्तर देखें

सही उत्तर: (A) 5 और −2

व्याख्या: x² − 3x − 10 = (x − 5)(x + 2)। अतः x = 5 या x = −2।

गलती बताएँ
2x² + x − 6 = 0 के मूल क्या हैं?
1. (A) −3/2 और 2
2. (B) 2 और −3
3. (C) 3 और −2
4. (D) 3/2 और −2
उत्तर देखें

सही उत्तर: (D) 3/2 और −2

व्याख्या: 2x² + x − 6 = 2x² + 4x − 3x − 6 = (2x − 3)(x + 2)। अतः x = 3/2 या x = −2।

गलती बताएँ
समीकरण 2x² − 4x + 3 = 0 का विविक्तकर (discriminant) क्या है?
1. (A) 40
2. (B) 8
3. (C) −8
4. (D) −40
उत्तर देखें

सही उत्तर: (C) −8

व्याख्या: D = b² − 4ac = (−4)² − 4 × 2 × 3 = 16 − 24 = −8। D < 0 है, इसलिए इसके कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

गलती बताएँ
समीकरण x² − 4x + 4 = 0 के मूलों की प्रकृति क्या है?
1. (A) दो बराबर वास्तविक मूल
2. (B) दो भिन्न वास्तविक मूल
3. (C) कोई वास्तविक मूल नहीं
4. (D) अनगिनत मूल
उत्तर देखें

सही उत्तर: (A) दो बराबर वास्तविक मूल

व्याख्या: D = 16 − 16 = 0। D = 0 होने पर दो बराबर वास्तविक मूल होते हैं; यहाँ (x − 2)² = 0, अतः x = 2, 2।

गलती बताएँ
समीकरण 2x² − 6x + 3 = 0 के मूलों की प्रकृति क्या है?
1. (A) दो बराबर वास्तविक मूल
2. (B) कोई वास्तविक मूल नहीं
3. (C) दो भिन्न वास्तविक मूल
4. (D) केवल एक मूल
उत्तर देखें

सही उत्तर: (C) दो भिन्न वास्तविक मूल

व्याख्या: D = 36 − 24 = 12 > 0। D धनात्मक होने पर दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं।

गलती बताएँ
द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 का विविक्तकर क्या होता है?
1. (A) b² + 4ac
2. (B) b² − 4ac
3. (C) √(b² − 4ac)
4. (D) −b/2a
उत्तर देखें

सही उत्तर: (B) b² − 4ac

व्याख्या: विविक्तकर D = b² − 4ac से मूलों की प्रकृति पता चलती है: D > 0 पर दो भिन्न, D = 0 पर दो बराबर, और D < 0 पर कोई वास्तविक मूल नहीं।

गलती बताएँ
k के किन मानों के लिए समीकरण 2x² + kx + 3 = 0 के मूल बराबर होंगे?
1. (A) ±√6
2. (B) ±6
3. (C) ±24
4. (D) ±2√6
उत्तर देखें

सही उत्तर: (D) ±2√6

व्याख्या: बराबर मूलों के लिए D = 0: k² − 4 × 2 × 3 = 0, अतः k² = 24 और k = ±√24 = ±2√6।

गलती बताएँ
k के किस शून्येतर मान के लिए समीकरण kx(x − 2) + 6 = 0 के मूल बराबर होंगे?
1. (A) −6
2. (B) 0
3. (C) 3
4. (D) 6
उत्तर देखें

सही उत्तर: (D) 6

व्याख्या: kx² − 2kx + 6 = 0। बराबर मूलों के लिए D = 4k² − 24k = 4k(k − 6) = 0। k ≠ 0 होने से k = 6।

गलती बताएँ
ax² + bx + c = 0 के मूल ज्ञात करने का द्विघाती सूत्र क्या है?
1. (A) x = [−b ± √(b² − 4ac)] / 2a
2. (B) x = [b ± √(b² − 4ac)] / 2a
3. (C) x = [−b ± √(b² + 4ac)] / 2a
4. (D) x = [−b ± (b² − 4ac)] / 2a
उत्तर देखें

सही उत्तर: (A) x = [−b ± √(b² − 4ac)] / 2a

व्याख्या: द्विघाती सूत्र x = [−b ± √(b² − 4ac)] / 2a है। यह तभी वास्तविक मूल देता है, जब b² − 4ac ≥ 0 हो।

गलती बताएँ
समीकरण x² + 4x + 5 = 0 के कितने वास्तविक मूल हैं?
1. (A) 1
2. (B) 2
3. (C) अनगिनत
4. (D) 0
उत्तर देखें

सही उत्तर: (D) 0

व्याख्या: D = 16 − 20 = −4 < 0, इसलिए कोई वास्तविक मूल नहीं है।

गलती बताएँ
x² − 2x − 1 = 0 के मूल क्या हैं?
1. (A) −1 ± √2
2. (B) 1 ± √2
3. (C) 2 ± √2
4. (D) 1 ± √3
उत्तर देखें

सही उत्तर: (B) 1 ± √2

व्याख्या: x = [2 ± √(4 + 4)] / 2 = [2 ± 2√2] / 2 = 1 ± √2।

गलती बताएँ
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। वे पूर्णांक कौन-से हैं?
1. (A) 17 और 18
2. (B) 16 और 17
3. (C) 18 और 19
4. (D) 15 और 16
उत्तर देखें

सही उत्तर: (A) 17 और 18

व्याख्या: x(x + 1) = 306, यानी x² + x − 306 = 0 = (x − 17)(x + 18)। धनात्मक हल x = 17, अतः पूर्णांक 17 और 18 हैं।

गलती बताएँ
एक संख्या और उसके व्युत्क्रम का योग 10/3 है। संख्या क्या है?
1. (A) 2 या 1/2
2. (B) 4 या 1/4
3. (C) 3 या 1/3
4. (D) 5 या 1/5
उत्तर देखें

सही उत्तर: (C) 3 या 1/3

व्याख्या: x + 1/x = 10/3 से 3x² − 10x + 3 = 0 = (3x − 1)(x − 3), अतः x = 3 या x = 1/3।

गलती बताएँ
एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 m² है। इसकी लंबाई, चौड़ाई के दोगुने से 1 m अधिक है। लंबाई और चौड़ाई क्या हैं?
1. (A) चौड़ाई 12 m, लंबाई 44 m
2. (B) चौड़ाई 16 m, लंबाई 33 m
3. (C) चौड़ाई 22 m, लंबाई 24 m
4. (D) चौड़ाई 11 m, लंबाई 48 m
उत्तर देखें

सही उत्तर: (B) चौड़ाई 16 m, लंबाई 33 m

व्याख्या: x(2x + 1) = 528, यानी 2x² + x − 528 = 0 = (x − 16)(2x + 33)। अतः चौड़ाई 16 m और लंबाई 2 × 16 + 1 = 33 m।

गलती बताएँ
एक समकोण त्रिभुज का शीर्षलंब उसके आधार से 7 cm कम है और कर्ण 13 cm है। आधार और शीर्षलंब क्या हैं?
1. (A) आधार 13 cm, शीर्षलंब 6 cm
2. (B) आधार 10 cm, शीर्षलंब 3 cm
3. (C) आधार 8 cm, शीर्षलंब 1 cm
4. (D) आधार 12 cm, शीर्षलंब 5 cm
उत्तर देखें

सही उत्तर: (D) आधार 12 cm, शीर्षलंब 5 cm

व्याख्या: x² + (x − 7)² = 13², यानी x² − 7x − 60 = 0 = (x − 12)(x + 5)। अतः आधार 12 cm और शीर्षलंब 5 cm (जाँच: 144 + 25 = 169)।

गलती बताएँ
यदि −5 समीकरण 2x² + px − 15 = 0 का एक मूल है, तो p का मान क्या है?
1. (A) −7
2. (B) 3
3. (C) 5
4. (D) 7
उत्तर देखें

सही उत्तर: (D) 7

व्याख्या: x = −5 रखने पर 2 × 25 − 5p − 15 = 0, यानी 35 − 5p = 0, अतः p = 7।

गलती बताएँ
वह द्विघात समीकरण कौन-सा है, जिसके मूल 2 और −3 हैं?
1. (A) x² + x − 6 = 0
2. (B) x² − x − 6 = 0
3. (C) x² + x + 6 = 0
4. (D) x² − 5x + 6 = 0
उत्तर देखें

सही उत्तर: (A) x² + x − 6 = 0

व्याख्या: (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6। अतः समीकरण x² + x − 6 = 0 है।

गलती बताएँ
इनमें से किस समीकरण के मूल वास्तविक और बराबर हैं?
1. (A) x² + 9 = 0
2. (B) x² − 9 = 0
3. (C) x² − 6x + 8 = 0
4. (D) x² − 6x + 9 = 0
उत्तर देखें

सही उत्तर: (D) x² − 6x + 9 = 0

व्याख्या: x² − 6x + 9 = (x − 3)² के लिए D = 36 − 36 = 0, इसलिए दो बराबर मूल (3, 3) हैं। B के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; C और D के दो भिन्न मूल हैं।

गलती बताएँ
एक द्विघात समीकरण के अधिक-से-अधिक कितने मूल हो सकते हैं?
1. (A) 4
2. (B) 3
3. (C) 2
4. (D) 1
उत्तर देखें

सही उत्तर: (C) 2

व्याख्या: द्विघात समीकरण की घात 2 है, इसलिए इसके अधिक-से-अधिक 2 मूल हो सकते हैं।

गलती बताएँ
पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से x² + 6x + 5 = 0 को किस रूप में लिखा जा सकता है?
1. (A) (x + 3)² = 4
2. (B) (x + 3)² = 14
3. (C) (x + 6)² = 31
4. (D) (x − 3)² = 4
उत्तर देखें

सही उत्तर: (A) (x + 3)² = 4

व्याख्या: x² + 6x = −5। दोनों ओर (6/2)² = 9 जोड़ने पर x² + 6x + 9 = 4, यानी (x + 3)² = 4। अतः x + 3 = ±2, यानी x = −1 या −5।

गलती बताएँ
x² − 8x को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए उसमें क्या जोड़ना होगा?
1. (A) 64
2. (B) 16
3. (C) 8
4. (D) 4
उत्तर देखें

सही उत्तर: (B) 16

व्याख्या: x के गुणांक का आधा लेकर उसका वर्ग जोड़ते हैं: (8/2)² = 16। तब x² − 8x + 16 = (x − 4)²।

गलती बताएँ
अभिकथन (A): समीकरण x² + x + 1 = 0 का कोई वास्तविक मूल नहीं है। कारण (R): इस समीकरण का विविक्तकर ऋणात्मक है।
1. (A) A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है।
2. (B) A और R दोनों सत्य हैं, परंतु R, A की सही व्याख्या नहीं है।
3. (C) A सत्य है, परंतु R असत्य है।
4. (D) A असत्य है, परंतु R सत्य है।
उत्तर देखें

सही उत्तर: (A) A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

व्याख्या: D = 1 − 4 = −3 < 0। ऋणात्मक विविक्तकर का अर्थ है कि कोई वास्तविक मूल नहीं, इसलिए R, A की सही व्याख्या है।

गलती बताएँ