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अध्याय 2: बहुपद

कक्षा 10 गणित · ऑब्जेक्टिव प्रश्न उत्तर सहित

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  1. द्विघात बहुपद की घात कितनी होती है?

    1. (A) 3
    2. (B) 2
    3. (C) 1
    4. (D) 0
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (B) 2

    व्याख्या: द्विघात बहुपद का सामान्य रूप ax² + bx + c (a ≠ 0) है। इसमें x की सबसे बड़ी घात 2 है।

    गलती बताएँ

  2. बहुपद p(x) = 2x + 3 का शून्यक क्या है?

    1. (A) −3/2
    2. (B) −2/3
    3. (C) 2/3
    4. (D) 3/2
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (A) −3/2

    व्याख्या: 2x + 3 = 0 रखने पर x = −3/2। इस मान पर p(x) = 0 हो जाता है, इसलिए यही शून्यक है।

    गलती बताएँ

  3. x² − 2x − 8 के शून्यक कौन-से हैं?

    1. (A) −4 और 2
    2. (B) 8 और −1
    3. (C) −8 और 1
    4. (D) 4 और −2
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (D) 4 और −2

    व्याख्या: x² − 2x − 8 = (x − 4)(x + 2)। इसलिए x = 4 या x = −2 पर बहुपद शून्य होता है।

    गलती बताएँ

  4. बहुपद 6x² − 7x − 3 के शून्यकों का योग क्या है?

    1. (A) −7/6
    2. (B) −1/2
    3. (C) 1/2
    4. (D) 7/6
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (D) 7/6

    व्याख्या: ax² + bx + c के शून्यकों का योग = −b/a। यहाँ a = 6, b = −7, इसलिए योग = 7/6। (शून्यक 3/2 और −1/3 हैं।)

    गलती बताएँ

  5. बहुपद 3x² − x − 4 के शून्यकों का गुणनफल क्या है?

    1. (A) 4/3
    2. (B) 1/3
    3. (C) −1/3
    4. (D) −4/3
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (D) −4/3

    व्याख्या: शून्यकों का गुणनफल = c/a = −4/3। (शून्यक 4/3 और −1 हैं, और 4/3 × (−1) = −4/3।)

    गलती बताएँ

  6. वह द्विघात बहुपद कौन-सा है, जिसके शून्यकों का योग −3 और गुणनफल 2 है?

    1. (A) x² − 3x + 2
    2. (B) x² + 3x − 2
    3. (C) x² − 2x + 3
    4. (D) x² + 3x + 2
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (D) x² + 3x + 2

    व्याख्या: बहुपद = x² − (योग)x + गुणनफल = x² − (−3)x + 2 = x² + 3x + 2। इसके शून्यक −1 और −2 हैं।

    गलती बताएँ

  7. वह द्विघात बहुपद कौन-सा है, जिसके शून्यक 1/4 और −1 हैं?

    1. (A) 4x² − 3x − 1
    2. (B) 4x² + 3x − 1
    3. (C) 4x² + 3x + 1
    4. (D) x² + 3x − 4
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (B) 4x² + 3x − 1

    व्याख्या: योग = 1/4 − 1 = −3/4 और गुणनफल = −1/4। बहुपद = x² + (3/4)x − 1/4; 4 से गुणा करने पर 4x² + 3x − 1।

    गलती बताएँ

  8. किसी बहुपद y = p(x) का आलेख x-अक्ष को ठीक 3 बिंदुओं पर काटता है। p(x) के कितने शून्यक हैं?

    1. (A) 0
    2. (B) 1
    3. (C) 2
    4. (D) 3
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (D) 3

    व्याख्या: बहुपद के शून्यकों की संख्या उतनी होती है, जितने बिंदुओं पर उसका आलेख x-अक्ष को काटता या छूता है। यहाँ 3 बिंदु हैं।

    गलती बताएँ

  9. यदि y = p(x) का आलेख x-अक्ष को कहीं नहीं मिलता, तो p(x) के कितने शून्यक हैं?

    1. (A) 1
    2. (B) 2
    3. (C) 0
    4. (D) अनगिनत
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (C) 0

    व्याख्या: शून्यक वहीं होते हैं, जहाँ आलेख x-अक्ष से मिलता है। आलेख x-अक्ष से कहीं नहीं मिलता, इसलिए कोई वास्तविक शून्यक नहीं है।

    गलती बताएँ

  10. एक द्विघात बहुपद के अधिक-से-अधिक कितने शून्यक हो सकते हैं?

    1. (A) 1
    2. (B) 2
    3. (C) 3
    4. (D) अनगिनत
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (B) 2

    व्याख्या: n घात के बहुपद के अधिक-से-अधिक n शून्यक होते हैं। द्विघात बहुपद की घात 2 है, इसलिए अधिकतम 2 शून्यक।

    गलती बताएँ

  11. यदि बहुपद x² − 5x + k का एक शून्यक 2 है, तो k का मान क्या है?

    1. (A) 10
    2. (B) 6
    3. (C) 4
    4. (D) −6
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (B) 6

    व्याख्या: x = 2 रखने पर 4 − 10 + k = 0, इसलिए k = 6।

    गलती बताएँ

  12. यदि α और β बहुपद x² − 6x + 8 के शून्यक हैं, तो α² + β² का मान क्या है?

    1. (A) 20
    2. (B) 28
    3. (C) 36
    4. (D) 52
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (A) 20

    व्याख्या: α + β = 6 और αβ = 8। α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 36 − 16 = 20। (शून्यक 2 और 4 हैं: 4 + 16 = 20।)

    गलती बताएँ

  13. यदि α और β बहुपद x² − 5x + 4 के शून्यक हैं, तो 1/α + 1/β का मान क्या है?

    1. (A) 5/4
    2. (B) 4/5
    3. (C) 1/4
    4. (D) −5/4
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (A) 5/4

    व्याख्या: 1/α + 1/β = (α + β)/(αβ) = 5/4। (शून्यक 1 और 4 हैं: 1 + 1/4 = 5/4।)

    गलती बताएँ

  14. बहुपद 4u² + 8u के शून्यक कौन-से हैं?

    1. (A) 0 और 2
    2. (B) −2 और 2
    3. (C) 0 और −8
    4. (D) 0 और −2
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (D) 0 और −2

    व्याख्या: 4u² + 8u = 4u(u + 2)। यह u = 0 या u = −2 पर शून्य होता है।

    गलती बताएँ

  15. बहुपद t² − 15 के शून्यक कौन-से हैं?

    1. (A) 15 और −15
    2. (B) √15 और −√15
    3. (C) केवल 15
    4. (D) कोई वास्तविक शून्यक नहीं
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (B) √15 और −√15

    व्याख्या: t² − 15 = (t − √15)(t + √15), इसलिए t = √15 या t = −√15।

    गलती बताएँ

  16. यदि ax² + bx + c के दोनों शून्यक परिमाण में बराबर पर चिह्न में विपरीत हैं, तो क्या सत्य है?

    1. (A) b = 0
    2. (B) a = 0
    3. (C) c = 0
    4. (D) a = c
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (A) b = 0

    व्याख्या: शून्यक k और −k हों, तो उनका योग 0 है। योग = −b/a = 0, इसलिए b = 0।

    गलती बताएँ

  17. यदि ax² + bx + c के शून्यक एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं, तो क्या सत्य है?

    1. (A) b = 0
    2. (B) c = 0
    3. (C) c = a
    4. (D) a = −c
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (C) c = a

    व्याख्या: शून्यक k और 1/k हों, तो गुणनफल 1 है। गुणनफल = c/a = 1, इसलिए c = a।

    गलती बताएँ

  18. x³ − 3x² + 5x − 3 को x² − 2 से भाग देने पर भागफल और शेषफल क्या होंगे?

    1. (A) भागफल x + 3, शेषफल 7x − 9
    2. (B) भागफल x − 3, शेषफल 7x − 9
    3. (C) भागफल x − 3, शेषफल 7x + 9
    4. (D) भागफल x − 3, शेषफल −7x + 9
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (B) भागफल x − 3, शेषफल 7x − 9

    व्याख्या: जाँच: (x² − 2)(x − 3) + (7x − 9) = x³ − 3x² − 2x + 6 + 7x − 9 = x³ − 3x² + 5x − 3।

    गलती बताएँ

  19. बहुपदों के विभाजन एल्गोरिथ्म p(x) = g(x) × q(x) + r(x) में r(x) के लिए कौन-सी शर्त है?

    1. (A) r(x) की घात > g(x) की घात
    2. (B) r(x) की घात = p(x) की घात
    3. (C) r(x) सदा अचर होता है
    4. (D) r(x) = 0 या r(x) की घात < g(x) की घात
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (D) r(x) = 0 या r(x) की घात < g(x) की घात

    व्याख्या: शेषफल या तो शून्य होता है, या उसकी घात भाजक g(x) की घात से कम होती है।

    गलती बताएँ

  20. त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d के शून्यकों का योग क्या होता है?

    1. (A) b/a
    2. (B) c/a
    3. (C) −b/a
    4. (D) −d/a
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (C) −b/a

    व्याख्या: त्रिघात बहुपद के लिए: शून्यकों का योग = −b/a, दो-दो के गुणनफलों का योग = c/a, और तीनों का गुणनफल = −d/a।

    गलती बताएँ

  21. त्रिघात बहुपद 2x³ − 5x² − 14x + 8 के तीनों शून्यकों का गुणनफल क्या है?

    1. (A) 4
    2. (B) 5/2
    3. (C) −4
    4. (D) −7
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (C) −4

    व्याख्या: तीनों शून्यकों का गुणनफल = −d/a = −8/2 = −4। (शून्यक 4, −2 और 1/2 हैं: 4 × (−2) × 1/2 = −4।)

    गलती बताएँ

  22. इनमें से कौन-सा व्यंजक बहुपद नहीं है?

    1. (A) x² + 3x
    2. (B) 5
    3. (C) 2x³ − 1
    4. (D) x + 1/x
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (D) x + 1/x

    व्याख्या: बहुपद में चर की घातें पूर्ण संख्याएँ (0, 1, 2, …) होती हैं। 1/x = x⁻¹ में घात ऋणात्मक है, इसलिए x + 1/x बहुपद नहीं है।

    गलती बताएँ

  23. इनमें से कौन-सा मान बहुपद x² − 3x + 2 का शून्यक है?

    1. (A) 3
    2. (B) 2
    3. (C) 0
    4. (D) −1
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (B) 2

    व्याख्या: x = 2 रखने पर 4 − 6 + 2 = 0। बाकी मानों पर बहुपद शून्य नहीं होता। (इसका दूसरा शून्यक 1 है।)

    गलती बताएँ

  24. रैखिक बहुपद ax + b (a ≠ 0) का शून्यक क्या है?

    1. (A) −b/a
    2. (B) b/a
    3. (C) −a/b
    4. (D) a/b
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (A) −b/a

    व्याख्या: ax + b = 0 से x = −b/a। रैखिक बहुपद का ठीक एक शून्यक होता है।

    गलती बताएँ

  25. अभिकथन (A): बहुपद x² + 4 का कोई वास्तविक शून्यक नहीं है। कारण (R): y = x² + 4 का आलेख सदा x-अक्ष के ऊपर रहता है और उसे कहीं नहीं काटता।

    1. (A) A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है।
    2. (B) A और R दोनों सत्य हैं, परंतु R, A की सही व्याख्या नहीं है।
    3. (C) A सत्य है, परंतु R असत्य है।
    4. (D) A असत्य है, परंतु R सत्य है।
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (A) A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है।

    व्याख्या: x² ≥ 0 है, इसलिए x² + 4 ≥ 4, यानी कभी शून्य नहीं होता। आलेख x-अक्ष को नहीं काटता, इसलिए R, A की सही व्याख्या है।

    गलती बताएँ